História da matemática

EGITO 

       A Idade da Pedra - um longo período que precede o uso de metais - não teve um fim abrupto. Os períodos de transição que daí sucede surgem civilizações caracterizadas pelo uso de metais. Esses povos se situaram primeiro em vales de rios, como os do Egito, Mesopotâmia, Índia e China. Da Mesopotâmia, onde o barro era abundante, marcas em forma de cunhas eram feitas com um estilete sobre tabletes moles que depois eram cozidas (cuneiforme cerca de 4.000 anos). 

       A notação hieroglífica, escritos egípcios, foi decifrada pela descoberta de uma expedição de Napoleão, por volta de 1.799. A partir de uma grande peça achada em Rosetta, antigo porto de Alexandrina, descobriu-se uma mensagem que continha três escritas: grega, demótica e hieroglífica. Como conheciam o idioma grego, fizeram rápido progresso na decifração dos hieróglifos egípcios. Os egípcios começaram cedo a se interessar pela astronomia e observaram que as inundações do Nilo eram separadas por 365 dias (estrela Sirius se levantava a leste logo antes do sol).Desta observação, surge, pois, o calendário solar. Nele, são estabelecidos 12 meses de 30 dias e mais cinco dias de festas. No que diz respeito às operações matemáticas, pode-se afirmar que a operação aritmética fundamental no Egito era a adição. Já, nossas operações de multiplicação e divisão eram efetuadas no tempo de Ahmes (Papiro de Ahmes) por duplações sucessivas. A solução de problemas algébricos de Ahmes não é a de livros modernos. Este tipo de resolução apresenta como característica um processo conhecido como “método de falsa posição” em que a incógnita é chamada de “aha”.

MESOPOTÂMIA 

       As civilizações antigas da Mesopotâmia são frequentemente chamadas babilônicas. Contudo, é importante definirmos que a cidade de Babilônia não foi o princípio, como também nem foi, em períodos posteriores, o centro da cultura associada com os dois rios (2000 anos até aproximados 600 a.C.).

Há uma abundância de material relativo à matemática na Mesopotâmia. Tais registros viabilizaram que a eficácia da computação tenha sido resultado não somente de seu sistema de numeração, mas que os matemáticos mesopotâmios também tenham sido hábeis no desenvolver processos algoritmos. Seu sistema era basicamente sexagesimal, mais provável, porém que a base sessenta fosse adotada conscientemente e legalizada no interesse da metrologia. Uma grandeza de sessenta unidades pode ser facilmente subdividida em metades, terços, quartos, quintos, sextos, décimos, doze avos, vigésimos e trigésimos, fornecendo assim dez possíveis subdivisões. São evidentes muitas deficiências da matemática pré-helênica. Os papiros e tabletas encontrados contêm apenas casos específicos e problemas, sem formulações gerais. Um estudo posterior é um pouco confortante, pois as centenas de problemas de tipos semelhantes em tabletas cuneiformes parecem ser exercícios que os escolares deviam resolver de acordo com certos métodos ou regras aceitas. Naturalmente muito da matemática pré-helênica era prática, mas certamente nem toda. Na resolução de cálculos, que se estendeu por um par de milênios, as escolas de escribas usaram muito material de exercícios, frequentemente, talvez, como puro divertimento. 

 A JÔNIA E OS PITAGÓRICOS 

        A atividade intelectual das civilizações potâmicas no Egito e Mesopotâmia tinha perdido sua verve bem antes da era cristã; mas quando a cultura nos vales dos rios estava declinando e o bronze cedendo lugar ao ferro na fabricação de armas, vigorosas culturas novas estavam surgindo ao longo de todo o litoral do Mediterrâneo. Os estudiosos egípcios e babilônios continuaram a produzir textos em papiro e cuneiforme durante muitos séculos após 800 a.C. Enquanto isso, uma nova civilização se preparava rapidamente para assumir a hegemonia cultural, não só na região mediterrânea mas, finalmente, também nos principais vales fluviais.  Os primeiros Jogos Olímpicos se realizaram em 776 a.C. Este período marca a presença de uma maravilhosa literatura grega, evidenciada pelas obras de Homero e Hesíodo. Contudo, da matemática grega da época nada sabemos. Também Tales e Pitágoras são figuras imprecisas historicamente. Mas o que fizeram deve ser reconstruído com base numa tradição, não muito digna de confiança, que se formou em torno desses dois matemáticos antigos. Certas frases-chave lhes são atribuídas, tais como “Conhece a ti mesmo” no caso de Tales e “Tudo é número”, de Pitágoras, mas nada mais específico. O que se sabe de Tales de Mileto é muito pouco. Seu nascimento e sua morte são datados com base no fato de que o eclipse de 585 a.C.

        Tales era considerado um homem de rara inteligência (o primeiro dos Sete Sábios), era considerado um “discípulo dos egípcios e caldeus” e frequentemente saudado com o primeiro matemático verdadeiro – originador da organização dedutiva da geometria.

Pitágoras de Gamos é uma figura pouco menos discutida que Tales. Pitágoras era um profeta e um místico, nascido em Gamos, não longe de Mileto. Durante suas peregrinações ele evidentemente absorveu não só informação matemática e astronômica como também muitas ideias religiosas. Pitágoras, aliás, praticamente foi contemporâneo de Buda, Confúcio e Lao-Tse.

       Ao retornar ao mundo grego, Pitágoras fixou-se em Crotona na costa sudeste do que agora é Itália, mas era então chamada Magna Grécia. Lá ele fundou uma sociedade secreta, com base matemáticas e filosóficas cujo símbolo da sociedade era o pentagrama e seu lema era “Tudo é número”.Se a tradição merece confiança, os pitagóricos não só fizeram da aritmética um ramo, a filosofia; parecem ter feito dela uma base para a unificação de todos os aspectos do mundo que os rodeava.

A IDADE HERÓICA 

      Durante a segunda metade do quinto século antes de Cristo, circularam relatos persistentes e consistentes acerca de vários matemáticos que estavam intensamente preocupados com problemas que formaram a base da maior parte dos desenvolvimentos posteriores na geometria. Por isso chamaremos esse período de “Idade Heróica da Matemática”, uma vez que raramente, antes ou depois, homens com tão poucos recursos se dedicaram a problemas de tal significado matemático. É neste momento em que a atividade matemática já não se fixava mais em duas regiões, mas sim ao longo de todo Mediterrâneo. Anágoras de Clazomenae foi preso em Atenas por impiedade, ao assegurar que o Sol não era uma divindade, mas uma grande pedra incandescente, grande como todo Peloponeso e que a Lua era uma terra habitada que emprestava do Sol a sua luz. Além disso, tem-se que o principal legado matemático da Idade Heróica pode ser condensado em seis problemas: quadradura do ângulo, razão de grandezas incomensuráveis, paradoxos do movimento e validade dos métodos infinitesimais. 

 A IDADE DE PLATÃO E ARISTÓTELES 

       Platão é importante na história da matemática principalmente por seu papel como inspirador e guia de outros. É provável que a ele se deva a distinção clara que se fez na Grécia antiga entre aritmética (no sentido de teoria dos números) e logística (a técnica de computação). Platão considerava a logística adequada para negociantes e guerreiros, “que precisam aprender as artes dos números, ou não saberão dispor suas tropas”. Para ele, o filósofo, por outro lado, deve conhecer a aritmética “porque deve subir acima do mar das mudanças e captar seu verdadeiro ser”. Além disso, diz Platão em A República, “a aritmética tem um efeito muito grande de elevar a mente, compelindo-a a raciocinar sobre número abstrato”. Os pensamentos de Platão sobre o número eram muito elevados, contudo, muitas vezes parecem se aproximar do misticismo e a evidente fantasia. Assim como Platão via na aritmética uma clara separação entre os aspectos teóricos e computacionais, na geometria ele defendia a causa da matemática pura contra a visão materialista do artesão ou técnico.

       Já Aristóteles foi o homem mais erudito de todos os tempos. Sua morte, em geral, é considerada como o marco do fim do primeiro grande período, a Idade Helênica, na história da civilização grega. Aristóteles, como Eudoxo, foi discípulo de Platão e, como Menaecmus, mestre de Alexandre, o Grande. Aristóteles era antes de tudo um filósofo e biólogo, mas também estava completamente a par das atividades dos matemáticos. Em 323 a.C. Alexandre, o Grande, morreu subitamente e seu império de desfez. Seus generais dividiram o território que o jovem conquistador dominava. Em Atenas, onde Aristóteles fora considerado um estrangeiro, o filósofo verificou que se tornara impopular, agora que seu poderoso soldado-estudante estava morto. Deixou Atenas e morreu no ano seguinte. A nova cidade de Alexandria, fundada pelo conquistador do mundo, agora tomou o lugar de Atenas como centro do mundo matemático. Na história da civilização, costuma-se por isso distinguir dois períodos no mundo grego, separados por uma linha divisória conveniente, constituída pelas mortes quase simultâneas de Alexandre e Aristóteles. A parte mais antiga chama-se Idade Helênica, a segunda Helenística ou Alexandrina. O primeiro século da nova era é chamada Idade Áurea da matemática grega. 

EUCLIDES DE ALEXANDRIA 

       A morte de Alexandre, o Grande, levou a disputas entres os generais do exército grego. Em em 306 a.C. o controle da parte egípcia do império estava nas mãos de Ptolomeu I, e esse governante pôde voltar à atenção para esforços construtivos. Entre seus primeiros atos está a criação em Alexandria de uma escola ou instituto conhecido como Museu, um grande marco de seu tempo. Como professores, ele chamou um grupo de sábios de primeira linha, entre eles Euclides, o autor do texto de matemática mais bem-sucedido de todos os tempos – Os elementos (Stoichia). Os elementos estão divididos em treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria elementar. Já os três seguintes tratam sobre a teoria dos números; o Livro X é sobre os incomensuráveis e os três últimos versam principalmente sobre geometria no espaço. Eles não só constituem a mais antiga e importante obra matemática grega a chegar até nós, mas o texto mais influente de todos os tempos. Composto em 300 a.C. aproximadamente e copiado muitas vezes depois. Cópias de Os elementos chegaram até nós também em traduções árabes, mais tarde traduzidas para o latim no século doze, e finalmente, no século dezesseis, em vernáculo. A primeira versão impressa de Os elementos apareceu em Veneza, em 1482, um dos primeiros livros de matemática impressos. Calcula-se, pois, que desde então pelo menos mil edições foram publicadas. Talvez nenhum livro, além da Bíblia, possua tantas edições, e certamente nenhuma obra matemática teve influência comparável à de Os elementos de Euclides. 

 ARQUIMEDES DE SIRACUSA 

       Durante toda a Idade Helenística, o centro da atividade matemática permaneceu em Alexandria, mas o maior matemático desse tempo – e toda antiguidade – não nasceu nessa cidade. É possível que Arquimedes tenha estudado por algum tempo em Alexandria com os estudantes de Euclides, e manteve comunicação com os matemáticos de lá, mas viveu e morreu em Siracusa. Durante a Segunda Guerra Púnica, a cidade de Siracusa se viu envolvida na luta entre Roma e Cartago. Tendo-se associado a essa última, a cidade foi sitiada pelos romanos durante os anos de 214 a.C. a 212 a.C. Durante o cerco, Arquimedes inventou engenhosas máquinas de guerra para conservar o inimigo à distância: catapultas para lançar pedras; cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar os navios romanos; invenções para queimar os navios. Por fim, no entanto, Siracusa caiu. Durante o saque da cidade Arquimedes foi morto por um soldado romano, apesar das ordens para que o geômetra fosse poupado. 

APOLÔNIO DE PERGA

        Aproximadamente durante o primeiro século da Idade Helenística, três matemáticos se destacaram com relação aos demais da época, assim como da maior parte de seus predecessores e sucessores. Esses homens foram Euclides, Arquimedes e Apolônio. É por causa deles que o período de cerca de 300 a 200 a.C. foi denominado “Idade Áurea” da matemática grega. Não se podem conhecer as datas precisas de sua vida, mas diz-se que viveu durante os reinos de Ptolomeu Euergetes e de Ptolomeu Filopater. Alguns relatos afirmam que ele foi o tesoureiro-geral de Ptolomeu Filadelfo e dizem ainda que era vinte e cinco a quarenta anos mais jovem que Arquimedes.

       Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada Resultado Rápido que parece ter tratado de processos rápidos de calcular. Temos os títulos de muitas obras perdidas, entre eles: Como dividir uma razão; Cortar uma área; Sobre secção determinada; Tangências (ou Contatos); Inclinações e Lugares Planos. Seis das obras de Apolônio estavam incluídas junto com dois dos tratados mais avançados (hoje perdidos) de Euclides, numa coleção chamada “Tesouro da análise”. O “Tesouro” consistiu em grande parte de obras de Apolônio, consequentemente deve ter incluído muito do que hoje chamamos geometria analítica. Foi com razão que Apolônio, não Euclides, mereceu dos antigos o nome de “o Grande Geômetra”. 

TRIGONOMETRIA E MENSURAÇÃO NA GRÉCIA 

       A trigonometria, como os outros ramos da matemática, não foi obra de um só homem ou nação. Teoremas sobre as razões entre lados de triângulos semelhantes tinham sido conhecidos e usados pelos antigos egípcios e babilônios. No período-helênico, dada a falta do conceito de medida de ângulo, tal estudo seria melhor chamado “trilaterometria”, ou medida de polígonos de três lados (triláteros), do que “trigonometria”, a medida de partes de um triângulo. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais os inscritos em círculos, eram conhecidas dos gregos do tempo de Hipócrates. É possível que Eudoxo tenha usado razões e medidas de ângulos para determinar o tamanho da Terra e as distâncias relativas do Sol e da Lua. Nas obras de Euclides, não há trigonometria no sentido estrito da palavra, mas há teoremas equivalentes a leis ou fórmulas trigonométricas específicas. O teorema de Arquimedes sobre a corda quebrada pode facilmente ser traduzido em linguagem trigonométrica em fórmulas para senos de somas e diferença de ângulos.

       Cada vez mais, os astrônomos da Idade Alexandrina – notadamente Erastótenes de Cirene (por volta de 276 – 194 a.C.) e Aristarco de Samos (por volta de 310 – 230 a.C.) tratavam problemas que indicavam a necessidade de relações mais sistematizadas entre ângulos e cordas. Os gregos, e depois deles os hindus e os árabes, usaram linhas trigonométricas. Essas, a princípio, tiveram a forma de cordas num círculo e coube a Ptolomeu associar valores numéricos (ou aproximações) às cordas. Para isso duas convenções eram necessárias: 1) algum esquema para subdividir a circunferência de um círculo e 2) alguma regra para subdividir o diâmetro. A divisão de uma circunferência em 360 graus parece ter estado em uso na Grécia desde os dias de Hiparco, embora não se saiba bem como a convenção surgiu. Não é improvável que a medida de 360 graus tenha sido tomada da astronomia, onde o zodíaco fora dividido em doze “signos” ou 36 “decanatos”. Nosso sistema comum de medida de ângulos pode derivar dessa correspondência. Sem dúvida, foi o sistema sexagesimal que levou Ptolomeu a subdividir o diâmetro de seu círculo trigonométrico em 120 partes. Cada uma delas, ele subdividiu de novo em sessenta minutos e cada minuto de comprimento em sessenta segundos. Tendo fixado seu sistema de medidas, Ptolomeu estava pronto para calcular as cordas dos ângulos dentro do sistema. 

RESSURGIMENTO E DECLÍNIO DA MATEMÁTICA GREGA

       A matemática no mundo grego cobriu um intervalo de tempo indo pelo menos de 600 a.C. a 600 d.C. e viajou da Jônia à ponta da Itália e Atenas, a Alexandria e a outras partes do mundo civilizado. Heron e Ptolomeu eram gregos, mas viviam num mundo dominado politicamente por Roma. A morte de Arquimedes pela mão de um soldado romano pode ter sido acidental, mas foi verdadeiramente premonitória. Durante toda a sua longa história, a Roma antiga pouco contribuiu para a ciência e a filosofia e menos ainda para a matemática. Projetos notáveis de engenharia e monumentos arquitetônicos se relacionavam com os aspectos mais simples da ciência, mas os construtores romanos se satisfaziam com técnicas práticas elementares que requeriam muito pouco conhecimento de grande massa de pensamento grego. Afirma-se, às vezes, que obras notáveis de engenharia, como as pirâmides do Egito, e os aquedutos romanos, implicam um alto grau de realização matemática, mas a evidência histórica não apoia essa ideia. Assim como a matemática egípcia antiga era de nível inferior à babilônica, do mesmo período, também, a matemática romana era de nível muito inferior à da Grécia durante os mesmos anos. Faltava aos romanos o interesse pela matemática, de modo que seus melhores esforços, como o de Vitruvius, por exemplo, não se comparavam aos mais fracos resultados surgidos na Grécia. 

CHINA E ÍNDIA

       As civilizações da China a da Índia são muito mais antigas que as da Grécia e Roma, porém não mais que as dos vales do Nilo e Mesopotâmia. Remontam à Idade Potâmica, enquanto que as culturas da Grécia e de Roma eram da Idade Talássica.

Algumas afirmações quanto a terem os chineses feito observações astronômicas importantes, ou descrito os doze signos de zodíaco, pelo décimo quinto milênio a.C. são certamente infundadas. Contudo, a tradição coloca o primeiro império chinês em 2750 a.C. aproximadamente. Outras avaliações mais modestas colocam essas civilizações primitivas por volta do ano 100 a.C. Datar os documentos matemáticos da China não é fácil, e estimativas quanto ao Chou Pei Suang Ching, geralmente considerado o mais antigo dos clássicos matemáticos, diferem por quase mil anos. O problema de sua data é dificultado pelo fato de poder ser obra de vários homens em períodos diferentes. Alguns consideram o Chou Pei como uma boa exposição da matemática chinesa de cerca de 1200 a.C., mas outros colocam a obra no primeiro século de nossa era. Uma data de 300 a.C. parece razoável, o que colocaria a obra em competição com outro tratado, o Chiu Chang Suan-Shu, composto por volta de 250 a.C. O Chou Pei indica que na China, como Heródoto dizia do Egito, a geometria derivou da mensuração e, como na Babilônia, a geometria chinesa era essencialmente um exercício de aritmética ou álgebra. Há, aparentemente, indicações no Chou Pei do Teorema de Pitágoras, um teorema que os chineses tratavam algebricamente. Nas obras chinesas, como nas egípcias, chama à atenção a justaposição de resultados precisos e imprecisos, primitivos e elaborados. São usadas regras corretas para as áreas de triângulos e trapézios. A área do círculo era calculada tomando três quartos do quadrado sobre o diâmetro ou um doze avos do quadrado da circunferência. Os chineses gostavam especialmente de diagramas, por isso não é surpreendente que o primeiro registro (de origem antiga mas desconhecida) de um quadrado mágico tenha aparecido lá. O quadrado foi supostamente trazido para os homens por uma tartaruga do Rio Lo nos dias do lendário Imperador Yii, considerado um engenheiro hidráulico.

      Se a matemática chinesa tivesse tido continuidade de tradição, algumas das notáveis antecipações dos métodos modernos poderiam ter modificado substancialmente o desenvolvimento da matemática. Mas a cultura chinesa foi seriamente prejudicada por quebras abruptas. Em 213 a.C., como, por exemplo, o imperador da China mandou queimar todos os livros de matemática. Algumas obras evidentemente escaparam, seja pela persistência de cópias, seja por transmissão oral e o aprendizado de fato continuou com ênfase, quanto à matemática, em problemas de comércio e calendário. A queda do Império Romano do Ocidente tradicionalmente é situada no ano 476. Nesse ano, nasce Aryabhata, autor de um dos mais antigos textos matemáticos indianos. É claro, entretanto, que tinha havido atividade matemática na Índia muito antes disso – provavelmente antes mesmo da mística fundação de Roma em 753 a.C. A Índia, como o Egito, tinha seus “estiradores de corda”, e as primitivas noções geométricas adquiridas em conexão com o traçado de templos e medida e construção de altares tomaram a forma de um corpo de conhecimentos conhecidos como os Sulvasutras ou “regras de corda”. Sulva (ou sulba) refere-se às cordas usadas para medidas, e sutra significa um livro de regras ou aforismos relativos a um ritual ou ciência. Mas a dificuldade em datar as regras se liga ainda a dúvidas quanto à influência que tiveram sobre matemáticos hindus posteriores. Mais ainda do que na China há uma notável falta de continuidade na tradição matemática na Índia: contribuições significativas são acontecimentos isolados separados por intervalos sem realizações. 

A HEGEMONIA ÁRABE 

            À época em que Brahmaguta escrevia, o Império Sabeano da Arábia Félix tinha caído e a península passava por uma séria crise. Era habitada principalmente por nômades do deserto, chamados beduínos que não sabiam ler nem escrever. Entre eles, estava o profeta Maomé, nascido em Meca cerca de 570. Durante dez anos pregou em Meca, mas em 622, perante uma conspiração para matá-lo, aceitou um convite para ir a Medina. Dez anos depois, estabeleceu um estado maometano, com centro em Meca, no qual os judeus e cristãos, sendo monoteísta, recebiam proteção e liberdade de culto. Em 632, enquanto planejava atacar o Império Bizantino, Maomé morreu em Medina. Sua morte súbita não impediu a expansão do domínio islâmico, pois seus seguidores invadiram territórios vizinhos com espantosa rapidez. Há uma lenda que diz que quando o chefe das tropas vitoriosas perguntou o que devia ser feito com os livros da biblioteca de Alexandria, foi-lhe dito que os queimasse, pois se estivessem de acordo com o Corão, eram supérfluos, se tivessem em desacordo eram pior que supérfluos.

       O primeiro século do império muçulmano fora destituído de realizações científicas. Esse período (cerca de 650 a 750) foi na verdade, talvez, o nadir do desenvolvimento da matemática, pois os árabes ainda não tinham entusiasmo intelectual, e o interesse pela cultura tinha quase desaparecido no resto do mundo. Se não fosse o súbito despertar cultural do Islã na segunda metade do oitavo século, certamente muito mais se teria perdido da ciência e da matemática antigas. Foram chamados, nesse tempo, estudiosos da Síria e Mesopotâmia a Bagdá, inclusive judeus e cristãos nestorianos, sob três grandes patronos da cultura abássida – al-Mansur, Harum al-Rachid e al-Mamum. Foi durante o califado de al-Mamum (809-833), no entanto, que os árabes se entregaram totalmente à sua paixão por tradução. Diz-se que o califa teve um sonho em que apareceu Aristóteles, e em consequência al-Mamum decidiu mandar fazer versões árabes de todas as obras em que conseguissem deitar as mãos, inclusive o Almgesto de Ptolomeu e uma versão completa de Os elementos de Euclides. 

A EUROPA  NA IDADE MÉDIA

        O tempo e a história são, é claro, sem emendas, como o contínuo da matemática, e qualquer subdivisão em períodos é obra do homem. Assim como um sistema de coordenadas é útil na geometria, também a subdivisão dos acontecimentos em períodos ou eras é conveniente para a história. Quando Justiniano em 529 fechou as escolas filosóficas pagãs de Atenas, seus sábios se dispersaram e alguns se estabeleceram permanentemente na Síria, Pérsia e outros lugares. No entanto, alguns permaneceram e outros voltaram anos depois, e em consequência não houve hiato grande na cultura grega do mundo bizantino. À lista de sábios bizantinos devemos acrescentar Filoponus, que viveu em Alexandria no começo de sexto século e foi o mais importante físico de sua época no mundo todo. Filoponus questionava as leis aristotélicas do movimento e a impossibilidade do vácuo, e sugeriu a operação de uma espécie de princípio de inércia, sob o qual corpos em movimento continuavam a mover-se. Como Galileu mais tarde, negava que a velocidade adquirida por um corpo em queda livre seja proporcional ao seu peso. Filoponus não era primariamente um matemático, mas parte de sua obra, como seu tratado sobre o astrolábio, pode ser considerada como referente à matemática aplicada. A maior parte das contribuições bizantinas à matemática era de nível elementar e consistia principalmente de comentários sobre os clássicos.

       A matemática bizantina, muito mais do que a árabe, era uma espécie de ação de conservação, destinada a preservar ao máximo o legado da antiguidade, até que o Ocidente estivesse preparado para ir adiante.

RENASCIMENTO 

        A queda de Constantinopla em 1453 representou o colapso do Império Bizantino, e serve como um marco cronológico conveniente na história dos acontecimentos políticos. A importância da data para a história da matemática, no entanto, é discutível. Afirma-se frequentemente que por essa ocasião refugiados que escaparam para a Itália levaram manuscritos preciosos de antigos tratados gregos, e assim puseram o mundo europeu ocidental em contato com obras da antiguidade. É importante ressaltar que a Europa estava se recuperando do choque físico e espiritual da peste negra, e a invenção então recente da impressão com tipos móveis tornava possível uma difusão de obras eruditas muito maior do que em qualquer período anterior. O primeiro livro impresso na Europa Ocidental data de 1447, e pelo fim do século mais de 30.000 edições de várias obras estavam circulando. A matemática clássica, excetuadas as partes mais elementares de Os elementos de Euclides, era uma disciplina intensamente esotérica, só acessível aos que tinham grande preparo prévio. Assim revelação dos tratados gregos nesse campo a princípio não interferiu muito no prosseguimento da tradição medieval. Os estudos medievais latinos de geometria elementar e teoria das proporções, bem como as contribuições árabes às operações aritméticas e métodos algébricos, não apresentavam dificuldades comparáveis às obras de Arquimedes e Apolônio. Os ramos mais elementares é que iam chamar a atenção e aparecer em obras impressas. Obras novas de astronomia invariavelmente eram acompanhadas de tabelas de funções trigonométricas. Na Índia, onde a função seno nasceu, tinha havido pouco interesse por essa função, exceto quanto ao seu papel nos sistemas astronômicos ou Siddhantas. Durante cem anos depois da queda de Constantinopla as cidades da Europa central, notadamente Viena, Cracóvia, Praga e Nüremberg foram líderes em astronomia e matemática. A última dessas tornou-se um centro de impressão de livros (bem como de erudição, arte e invenção) e alguns dos maiores clássicos científicos foram publicados lá em meados do século dezesseis. A matemática durante a Renascença tinha sido largamente aplicada – à contabilidade, mecânica, mensuração de terras, artes, cartografia, óptica – havia numerosos livros tratando das artes práticas. No entanto, o interesse pelas obras clássicas da antiguidade permanecia forte. A geometria na primeira metade do século dezesseis dependera excessivamente das propriedades elementares ensinadas por Euclides. Werner tinha uma exceção a essa regra, mas poucos dentre os demais tinham conhecido realmente a geometria de Arquimedes, Apolônio e Paus. A Renascença poderia perfeitamente ter desenvolvido a geometria pura na direção sugerida pela arte e pela perspectiva, mas não foi dada atenção a essa possibilidade até quase exatamente a mesma época em que foi criada a geometria algébrica.